Вопросы и задачи к экзамену по курсу «История математики»

  1. Используя совершенное число пифагорейцев 28, представьте единицу в виде суммы основных дробей египтян с разными знаменателями.
  2. Докажите формулу древних египтян для вычисления объёма правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями.
  3. Докажите теорему пифагорейцев, что если число 2k-1 простое, то число 2k-1(2k-1) совершенное. Сформулируйте теорему Эйлера о совершенных числах.
  4. Докажите, что для всякого выпуклого многоугольника можно построить с помощью циркуля и линейки равновеликий квадрат.
  5. По данным положительным числам a и b на числовой оси изобразите с помощью циркуля и линейки числа ab и √ab.
  6. С помощью циркуля и линейки изобразите на числовой оси число 4√2.
  7. На сторонах прямоугольного треугольника ABC, как на диаметрах, построены окружности. Докажите, что сумма площадей луночек, опирающихся на катеты, равна площади треугольника ABC (задача Гиппократа).
  8. Вычислите площадь выпукло-вогнутой луночки Гиппократа, если известно, что центральные углы, измеряющие дуги окружностей, равны 2α и 2β, а длина общей стягивающей хорды равна 1.
  9. Методом Евдокса найдите рациональное число между отношениями √2/(1+√3) < √3/(1+√2).
  10. Распределив простые числа на два класса по модулю 6, методом Евклида докажите бесконечность множества простых чисел в арифметической прогрессии 6k+5 (k=0, 1, 2,…).
  11. Как построить правильный 7-угольник методом Архимеда (с помощью спирали)?
  12. Постройте окружность Аполлония как ГМТ, расстояния которых до двух данных точек находятся в отношении 1:2.
  13. Методом Аполлония постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей.
  14. Найдите ГМ середин хорд параболы y=x2+x-2, параллельных прямой 2x+3y=1.
  15. Как разделить на 3 равные части произвольный угол α методом Никомеда?
  16. Как решить задачу об удвоении куба при помощи циссоиды Диоклеса?
  17. Геометрическим методом ал-Хорезми решите уравнение x2+4x=3.
  18. Рассматривая сложение по модулю 10, докажите, что последние цифры чисел Фибоначчи периодически повторяются с периодом 60 (задача Лагранжа).
  19. Покажите, что в равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами длины 1 и углом при вершине в 36 градусов биссектриса угла при основании производит золотое сечение боковой стороны.
  20. Как с помощью золотого сечения единичного отрезка пифагорейцы строили правильный 5-уголъник циркулем и линейкой? Как строил правильный пятиугольник Евклид?
  21. Сведите задачу о построении правильного 5-уголъника к решению квадратного уравнения.
  22. Сведите задачу о построении правильного 7-уголъника к решению кубического уравнения.
  23. Докажите, что корни уравнения Леонардо Пизанского (Фибоначчи) x3+2x2+10x=20, не будучи рациональными, не выражаются в квадратных радикалах и не могут быть построены с помощью циркуля и линейки.
  24. Покажите, что число 3√2 нельзя изобразить на числовой оси с помощью циркуля и линейки.
  25. Решите уравнение x3-6x+4=0 по формуле Кардано.
  26. Методом неделимых Кеплера-Кавальери покажите, что площадь, ограниченная линиями: y=2x+sinx, y=2x, x=0, x=π равна площади волны синусоиды.
  27. Методом неделимых Кеплера-Кавальери вычислите объем шара радиуса R.
  28. Докажите равенство Эйлера n/2n-1=sin(π/n)·sin(2π/n)·…·sin((n-1)π/n) (n=2, 3, 4, …).
  29. В данном остроугольном треугольнике постройте точку (точку Ферма), для которой сумма расстояний до вершин треугольника минимальна.
  30. Найдите точку, сумма квадратов расстояний которой до вершин данного треугольника минимальна. Покажите, что эта точка в остроугольном треугольнике может отличаться от точки Ферма.
  31. Можно ли разделить окружность на 85, 86 и 255 равных частей с помощью циркуля и линейки?
  32. Покажите, что если правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, то значение функции Эйлера φ(n) есть степень числа 2.
  33. С помощью формулы Эйлера для выпуклых многогранников докажите теорему Евклида о существовании всего лишь 5 типов Платоновых тел.
  34. (Задача Леонардо да Винчи). В окружность радиуса r вписан правильный n-угольник. Вычислите сумму площадей всех луночек, образованных данной окружностью и окружностями, построенными на сторонах n-угольника, как на диаметрах. Будут ли луночки квадрируемы при n=4 и n=6?
  35. С помощью формулы Эйлера для мнимых показателей докажите, что sin2i+cos2i=1. Можно ли в этом равенстве заменить i другим мнимым числом?
  36. Вычислите главные значения lni, 2i, ii
    37. .
  37. Покажите, что функция комплексного переменного f(z)=z·z имеет производную лишь в точке z=0.
  38. Вычислите радиус сходимости степенного ряда ∑∞n=1nn/n!·zn.
  39. Вычислите ∫dx/cos(narccosx) (n — натуральное число).
  40. Проиллюстрируйте метод Остроградского на примере ∫dx/(x2+1)2.
  41. Докажите, что если показатель бинома Ньютона есть простое число Мерсенна, то все биномиальные коэффициенты нечетны. Верно ли это утверждение для простых чисел Ферма?

Построения на модели Пуанкаре плоскости Лобачевского

  1. Данный неевклидов отрезок (угол) разделите пополам.
  2. Данный неевклидов отрезок AB отложите на неевклидовой прямой AB от точки B в направлении от A к B.
  3. Данный неевклидов угол, образованный лучами a и b с общим началом A, отложите при луче a по другую сторону от луча b.
  4. Через данную точку проведите неевклидову прямую, перпендикулярную данной неевклидовой прямой.
  5. Через точку A, не лежащую на неевклидовой прямой a, проведите неевклидову прямую, параллельную a в данном направлении.
  6. Покажите, что для двух неевклидовых прямых существует неевклидов перпендикуляр к одной из них, параллельный другой прямой.
  7. Покажите, что две параллельные неевклидовы прямые не имеют общего неевклидова перпендикуляра.
  8. Постройте неевклидов треугольник, около которого нельзя описать окружность.
  9. Постройте четырехугольник Саккери и проиллюстрируйте его свойства.
  10. Постройте неевклидов треугольник с двумя заданными вершинами, около которого нельзя описать неевклидову окружность.
  11. Дана неевклидова прямая a и вне её точка A. Постройте угол параллельности в точке A относительно прямей a.
  12. Как установить, что на плоскости Лобачевского подобные треугольники равны?
  13. Какой вид имеет эквидистанта для данной неевклидовой прямой?
  14. Постройте неевклидов ромб с двумя заданными вершинами и исследуйте взаимное расположение неевклидовых прямых, проходящих через его противоположные стороны.
  15. Покажите, что две сверхпараллельные неевклидовы прямые имеют общий неевклидов перпендикуляр.
  16. Постройте неевклидов центр данной неевклидовой окружности.
  17. Постройте неевклидову окружность с заданным неевклидовым радиусом и с заданным неевклидовым центром.
  18. Постройте равносторонний неевклидов треугольник с двумя заданными вершинами.
  19. Постройте неевклидов треугольник с двумя заданными вершинами, около которого нельзя описать неевклидову окружность.
  20. Постройте равнобедренный неевклидов треугольник с заданным основанием AB, около которого нельзя описать неевклидову окружность.
  21. Докажите, что около всякого равностороннего неевклидова треугольника можно описать неевклидову окружность.
  22. Можно ли описать неевклидову окружность около четырехугольника Саккери?
  23. Проведите через данную точку неевклидову прямую, касающуюся данной неевклидовой окружности.

Назад